En mathématiques, les opérations ensemblistes sont des opérations qui prennent des ensembles comme entrée et produisent un nouvel ensemble, généralement selon une règle spécifiée. Les opérations ensemblistes fondamentales incluent l'union, l'intersection, la différence et le complément. L'union d'ensembles est une collection de tous les éléments qui sont dans quelconque des ensembles considérés. L'intersection d'ensembles est composée des éléments communs à tous les ensembles. La différence entre deux ensembles A et B, notée A \ B, est l'ensemble des éléments qui sont dans A mais pas dans B. On considère généralement un univers d'éléments U, et le complément d'un ensemble A est l'ensemble des éléments dans U qui ne sont pas dans A.

La notion de cardinalité est essentielle en combinatoire et en théorie des ensembles car elle permet de comparer la taille des ensembles. Pour un ensemble fini, la cardinalité est simplement le nombre d'éléments qu'il contient. Par exemple, si un ensemble A contient les éléments {1, 2, 3}, la cardinalité de A, notée |A|, est 3. Pour des ensembles infinis, on utilise des concepts avancés comme les nombres cardinaux transfinis de Cantor, ce qui sort du cadre de ce cours mais indique l'importance de ce concept même à des niveaux avancés.

Le produit cartésien est une construction mathématique qui permet de combiner deux ensembles de manière structurée. Par exemple, si A = {1, 2} et B = {x, y}, alors A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}. Le produit cartésien est fondamental dans les théories qui sous-tendent la logique mathématique et les structures algébriques comme les relations et les fonctions.

Le dénombrement concerne la question de savoir combien y a-t-il d'éléments d'un ensemble, souvent en utilisant des techniques du calcul combinatoire. Les outils du dénombrement incluent des principes comme le principe de multiplication (produit), où si il y a n façons de faire une chose et m façons de faire une autre, il y a alors n * m façons de faire les deux. Le principe d'addition est utilisé lorsque des tâches sont mutuellement exclusives ; s'il y a n façons de faire une tâche et m façons de faire une autre tâche, alors il y a n + m façons de faire l'une ou l'autre tâche. Des outils tels que les permutations et les combinaisons permettent également de traiter des problèmes de dénombrement complexes.

Les sommes et les séries apparaissent fréquemment en mathématiques pour décrire l'addition d'une série de termes. Une série arithmétique est une somme où chaque terme augmente d'une constante, alors qu'une série géométrique est une somme où chaque terme est un multiple constant du précédent. Les séries infinies, qui continuent indéfiniment, peuvent converger vers une limite. Par exemple, la série infinie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge vers 2. Explorer la convergence et la divergence des séries infinies est une partie fondamentale du calcul.