Définition
Suite géométrique
Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par un nombre constant appelé raison.
Raison
La raison d'une suite géométrique est le facteur constant par lequel on multiplie chaque terme pour obtenir le suivant. Elle est souvent notée q.
Terme général
Le terme général d'une suite géométrique est donné par la formule : u_n = u_0 * q^n, où u_0 est le premier terme et q la raison de la suite.
Formule explicite des suites géométriques
Pour une suite géométrique (u_n), la formule explicite du terme général est déterminée par :
u_n = u_0 \times q^n
Cette formule nous permet de calculer directement le nième terme de la suite sans avoir besoin de connaître les termes précédents. Ici, u_0 représente le premier terme de la suite, q la raison de la suite, et n la position du terme dans la suite (en partant de 0).
Propriétés des suites géométriques
Les suites géométriques possèdent plusieurs propriétés intéressantes :
1. **Multiplicativité** : Pour deux termes quelconques de la suite u_n et u_m, la relation u_n \over u_m = q^{n-m} est vraie.
2. **Positivité/Négativité** : Toute suite géométrique dont le premier terme est positif ou négatif conserve la positivité ou la négativité de ses termes si la raison est positive.
3. **Monotonie** : La suite est croissante si q > 1, constante si q = 1, et décroissante si 0 < q < 1.
Somme des termes d'une suite géométrique finie
Pour calculer la somme des n premiers termes d'une suite géométrique, on utilise la formule suivante :
S_n = u_0 \times \frac{1-q^n}{1-q}, \text{où } q \neq 1
Cette formule découle directement de la manipulation des termes pour obtenir une progression arithmétique des puissances de la raison q.
Application des suites géométriques
Les suites géométriques apparaissent fréquemment dans la modélisation de phénomènes réels tels que la croissance et la décroissance exponentielle, les intérêts composés en finance, et dans les sciences physiques pour modéliser des séries de réactions chimiques, entre autres.
A retenir :
Les suites géométriques sont un outil mathématique central en Terminale pour comprendre la régularité et la progression exponentielle des phénomènes. Elles se définissent par un premier terme et une raison, qui permettent d'établir une relation directe pour chaque terme via la formule explicite. Les propriétés telles que la monotonie, ainsi que la capacité de calculer la somme des termes, renforcent leur importance dans l'analyse mathématique et les applications pratiques.