Expression littérale
Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres. Ces lettres sont appelées des variables.
Développer une expression
Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme algébrique. Cela consiste à supprimer les parenthèses en utilisant les règles de la distributivité.
Factoriser une expression
Factoriser une expression, c'est transformer une somme algébrique en un produit. Cela consiste à identifier un facteur commun ou à utiliser les identités remarquables pour mettre l'expression sous forme de produit.
Introduction au calcul littéral
Le calcul littéral est une compétence fondamentale en mathématiques. Il permet de manipuler des expressions contenant des lettres (des variables) en plus des nombres. Comprendre comment développer et factoriser des expressions est essentiel pour résoudre des équations, simplifier des formules et aborder des concepts plus avancés. Ces techniques sont comme les règles de base d'un jeu : une fois maîtrisées, elles ouvrent la porte à des problèmes plus complexes.
Développer une expression littérale
Développer, c'est transformer une multiplication en une addition (ou soustraction). L'outil principal pour développer est la distributivité. Il existe deux types principaux de distributivité :
La simple distributivité
Pour développer une expression de la forme k(a + b), on distribue k à chaque terme à l'intérieur de la parenthèse : k × (a + b) = k × a + k × b. De même pour k(a - b) = k × a - k × b.
Simple distributivité
Exemple : Développons 3(x + 5).
3(x + 5) = 3 × x + 3 × 5 = 3x + 15.
3(x + 5) = 3 × x + 3 × 5 = 3x + 15.
La double distributivité
Pour développer une expression de la forme (a + b)(c + d), on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde : (a + b)(c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d.
Double distributivité
Exemple : Développons (x + 2)(x + 3).
(x + 2)(x + 3) = x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
(x + 2)(x + 3) = x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
Les identités remarquables (cas particuliers de la double distributivité)
Il y a trois identités remarquables à connaître par cœur, car elles permettent de développer et de factoriser rapidement des expressions spécifiques :
Carré d'une somme
Carré d'une différence
Produit d'une somme et d'une différence
Exemples :
- (x + 4)² = x² + 2 × x × 4 + 4² = x² + 8x + 16.
- (2x - 3)² = (2x)² - 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² - 12x + 9.
- (x - 5)(x + 5) = x² - 5² = x² - 25.
- (x + 4)² = x² + 2 × x × 4 + 4² = x² + 8x + 16.
- (2x - 3)² = (2x)² - 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² - 12x + 9.
- (x - 5)(x + 5) = x² - 5² = x² - 25.
Factoriser une expression littérale
Factoriser, c'est l'opération inverse du développement : c'est transformer une somme (ou soustraction) en une multiplication. Il existe principalement deux méthodes pour factoriser.
Chercher un facteur commun
C'est la méthode la plus courante. On observe tous les termes de l'expression et on cherche un élément (un nombre, une lettre ou une expression entière) qui est présent dans chacun d'eux. Une fois le facteur commun trouvé, on le "met en facteur" en appliquant la distributivité à l'envers : ka + kb = k(a + b).
Exemples :
- Factorisons 5x + 10.
On voit que 10 = 5 × 2. Donc 5x + 10 = 5 × x + 5 × 2. Le facteur commun est 5.
5x + 10 = 5(x + 2).
- Factorisons 7x² - 14x.
On voit que 7x² = 7x × x et 14x = 7x × 2. Le facteur commun est 7x.
7x² - 14x = 7x(x - 2).
- Factorisons (x+1)(x+2) + 3(x+2).
Le facteur commun est (x+2).
(x+1)(x+2) + 3(x+2) = (x+2) [ (x+1) + 3 ] = (x+2)(x+4).
- Factorisons 5x + 10.
On voit que 10 = 5 × 2. Donc 5x + 10 = 5 × x + 5 × 2. Le facteur commun est 5.
5x + 10 = 5(x + 2).
- Factorisons 7x² - 14x.
On voit que 7x² = 7x × x et 14x = 7x × 2. Le facteur commun est 7x.
7x² - 14x = 7x(x - 2).
- Factorisons (x+1)(x+2) + 3(x+2).
Le facteur commun est (x+2).
(x+1)(x+2) + 3(x+2) = (x+2) [ (x+1) + 3 ] = (x+2)(x+4).
Utiliser les identités remarquables (à l'envers)
Si l'expression à factoriser ne présente pas de facteur commun évident, elle correspond peut-être à une des formes développées des identités remarquables. Il faut alors reconnaître la structure pour la transformer en produit.
Exemples :
- Factorisons x² + 6x + 9.
On reconnaît la forme a² + 2ab + b² avec a = x et b = 3 (car x² est le carré de x, 9 est le carré de 3, et 6x = 2 × x × 3).
Donc, x² + 6x + 9 = (x + 3)².
- Factorisons 4x² - 12x + 9.
On reconnaît la forme a² - 2ab + b² avec a = 2x et b = 3.
Donc, 4x² - 12x + 9 = (2x - 3)².
- Factorisons 25x² - 16.
On reconnaît la forme a² - b² avec a = 5x et b = 4.
Donc, 25x² - 16 = (5x - 4)(5x + 4).
- Factorisons x² + 6x + 9.
On reconnaît la forme a² + 2ab + b² avec a = x et b = 3 (car x² est le carré de x, 9 est le carré de 3, et 6x = 2 × x × 3).
Donc, x² + 6x + 9 = (x + 3)².
- Factorisons 4x² - 12x + 9.
On reconnaît la forme a² - 2ab + b² avec a = 2x et b = 3.
Donc, 4x² - 12x + 9 = (2x - 3)².
- Factorisons 25x² - 16.
On reconnaît la forme a² - b² avec a = 5x et b = 4.
Donc, 25x² - 16 = (5x - 4)(5x + 4).
A retenir :
Résumé des notions clés :
- Développer, c'est transformer un produit en une somme en utilisant la distributivité.
- La simple distributivité: k(a+b) = ka + kb.
- La double distributivité: (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.
- Les trois identités remarquables sont des cas spéciaux pour développer et factoriser rapidement.
- Factoriser, c'est l'inverse : transformer une somme en un produit.
- On cherche d'abord un facteur commun pour factoriser.
- Si pas de facteur commun évident, on peut utiliser les identités remarquables à l'envers.
- Ces techniques sont fondamentales pour simplifier des expressions et résoudre des équations.