Critères de divisibilité

A) Vocabulaire

Remarques :

• La liste des multiples est infinie

- Le plus petit multiple possible d’un nombre est zéro

- Multiples de 345 : 0 ; 345 ; 690 ; 1035 ; 1380 ; etc…

• La liste des diviseurs est finie

- Le plus petit diviseur possible d’un nombre est 1

- Le plus grand diviseur d’un nombre est le nombre lui même

- Diviseurs de 345 : 1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 23 ; 69 ; 115 ; 345

B) Établir la liste des diviseurs d’un nombre

Méthode : On établit la liste de tous les produits de deux facteurs égaux à ce nombre n.

On s'arrête dés que l'on trouve un diviseur déjà noté ou supérieur à ?n

Exemple : liste des diviseurs de 40. On s’arrêtera à ?n ? 6

40 = 1 x 40

40 = 2 x 20

40 = 4 x 10

40 = 5 x 8

La liste des diviseurs de 40 est {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40}

C) Critères de divisibilité

Méthode : Pour toutes les questions qui portent sur des énoncés numériques, il est pertinent de commencer par tester l’affirmation avec des exemples.

• Si on trouve un seul contre-exemple alors l'énoncé est faux
• Si on ne trouve que des exemples vrais, on ne peut pas s'en contenter.
• Il faut généraliser en utilisant un calcul littéral pour justifier.

D) Nombres premiers

Remarque : 1 n'est pas un nombre premier

Liste des nombres premiers inférieurs à 100 à l'aide du « crible d’Eratosthène »

Tous ces nombres sont des nombres premiers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97

E) Décomposition en produits de facteurs premiers

Méthode : on cherche les diviseurs premiers des nombres (dans l'ordre croissant de préférence)

Exemple : Décomposer 84 

84 = 2 x 42

42 = 2 x 21

21 = 3 x 7

7 = 7 x 1

Donc 84 =2² x 3 x 7