Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est obtenu en ajoutant un nombre constant, appelé raison, au terme précédent. Par exemple, si la raison est 3 et que le premier terme (u_1) est 5, alors les premiers termes de la suite sont : 5, 8, 11, 14, ... La formule générale pour calculer le n-ième terme d'une suite arithmétique est : u_n = u_1 + (n-1) × r, où r est la raison.
Définition
Suite numérique
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres. Chaque nombre de cette liste est appelé un terme de la suite.
Terme
Un terme est un élément de la suite. Il est généralement noté avec une lettre et un indice, par exemple u_n pour le terme de rang n.
Rang
Le rang est la position d’un terme dans une suite. Par exemple, dans la suite (u_1, u_2, u_3,...), le terme u_2 est de rang 2.
📈 La suite arithmétique
📊 La suite géométrique
Une suite géométrique est une suite de nombres où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant, appelé raison. Par exemple, si la raison est 2 et que le premier terme (u_1) est 3, alors les premiers termes de la suite sont : 3, 6, 12, 24, ... La formule générale pour le n-ième terme d'une suite géométrique est : u_n = u_1 × r^(n-1), où r est la raison.
🔍 Quelques propriétés importantes
Dans une suite arithmétique, la somme de deux termes situés à égale distance des extrémités est constante. Par exemple, dans la suite (2, 4, 6, 8), la somme des termes aux positions 1 et 4 est égale à celle des positions 2 et 3, c'est-à-dire 10. Dans une suite géométrique, le produit des termes à égale distance des extrémités est constant. Cela est dû au fait que chaque terme est le produit du terme initial par une puissance de la raison.
📚 Exemples et exercices
1. Considérons une suite arithmétique de premier terme 7 et de raison 2. Trouver le 5ème terme.
Solution : u_5 = 7 + (5-1) × 2 = 15.
2. Pour une suite géométrique de premier terme 4 et raison 3, calculer le 4ème terme.
Solution : u_4 = 4 × 3^(4-1) = 108.
A retenir :
- Une suite est une liste ordonnée de nombres appelés termes.
- La suite arithmétique ajoute une constante à chaque étape.
- La suite géométrique multiplie chaque terme par une constante.
- Raison : nombre constant ajouté ou multiplié dans les suites.
- Formule suite arithmétique : u_n = u_1 + (n-1) × r.
- Formule suite géométrique : u_n = u_1 × r^(n-1).
