Définition
Dérivée
La dérivée d'une fonction mesure le taux de variation instantané de cette fonction par rapport à une variable. Mathématiquement, c'est la limite du taux de variation moyen lorsque l'intervalle de variation tend vers zéro.
Convexité
Une fonction est dite convexe sur un intervalle si la ligne droite joignant deux points quelconques de son graphe reste au-dessus ou sur le graphe.
Limite
La limite d'une fonction lorsqu'une variable approche une certaine valeur est la valeur que la fonction approche (si elle existe).
Suite
Une suite est une succession d'éléments (généralement des nombres) ordonnés selon une certaine règle.
Raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence est une démonstration qui consiste à prouver une propriété pour un terme initial, puis à montrer que si elle est vraie pour un terme donné, elle l'est pour le suivant.
Dérivation
La dérivation est une opération fondamentale en analyse mathématique. Elle permet de déterminer l'équation de la tangente à une courbe en un point donné, de mesurer la sensibilité de la fonction aux variations de la variable. Pour une fonction f définie sur un intervalle I, la dérivée de f en un point a de I, notée f'(a), est : f'(a) = lim (h -> 0) [(f(a+h) - f(a))/h]. Si cette limite existe, la fonction est dite dérivable en ce point.
Les dérivées possèdent plusieurs propriétés importantes telles que la linéarité, la règle du produit et la règle de la chaîne, qui facilitent le calcul de dérivées de fonctions composées ou produits de fonctions.
Convexité et Concavité
La convexité d'une fonction donne une idée de la 'courbure' de son graphe. Une fonction f est dite convexe sur un intervalle I si pour tout x, y dans I et tout t dans [0, 1], on a : f(tx + (1-t)y) <= tf(x) + (1-t)f(y). C'est-à-dire que le segment joignant les points (x, f(x)) et (y, f(y)) est au-dessus de la courbe. La fonction est concave si l'inégalité est inversée.
Pour déterminer la convexité ou concavité d'une fonction, on utilise la dérivée seconde : Si f''(x) > 0 sur un intervalle, f est convexe sur cet intervalle. Si f''(x) < 0, f est concave.
Limites
Le concept de limite est essentiel pour l'analyse mathématique et les calculs d'approximation. Il est formalisé par la relation : lim (x -> a) f(x) = L signifie que lorsque x s'approche de a, f(x) s'approche de L. Cela permet notamment d'analyser le comportement des fonctions aux bornes de leur domaine de définition ou en des points où elles ne sont pas définies.
Les limites sont utilisées pour définir les dérivées et les intégrales. Elles servent également à calculer les asymptotes et la croissance des fonctions à l'infini.
Suites
Les suites sont des outils essentiels dans l'étude des successions et des séries. Elles sont définies par une relation de récurrence ou par une formule explicite. Une suite peut être croissante (chaque terme est supérieur ou égal au précédent), décroissante, ou oscillante.
Pour une suite (un) définie par récurrence, on connaît généralement le premier terme u0 et une relation du type un+1 = f(un) où f est une fonction. Les propriétés importantes des suites incluent la convergence (si la suite tend vers une limite finie) ou la divergence.
Raisonnement par Récurrence
Le raisonnement par récurrence est une méthode puissante pour démontrer une propriété portant sur les entiers naturels. Il se compose généralement de deux étapes : l'initialisation, où la propriété est vérifiée pour un entier initial donné ; l'hérédité, où l'on montre que si la propriété est vraie pour un entier n alors elle l'est pour n+1.
Cette méthode est particulièrement utile pour prouver des résultats sur les suites, tels que la nature croissante, décroissante ou la majoration/minoration des termes.
A retenir :
La dérivation permet de comprendre comment une fonction varie instantanément et de déterminer la tangente en un point. La convexité d'une fonction informe sur sa courbure et peut être déterminée par la dérivée seconde. Les limites sont essentielles pour comprendre le comportement des fonctions aux bornes ou en des points où elles ne sont pas définies. Les suites sont des successions de nombres qui peuvent converger ou diverger, et sont souvent définies par des relations de récurrence. Enfin, le raisonnement par récurrence est un outil clé pour démontrer des propriétés générales, notamment en arithmétique ou pour les suites.
