Les fonctions du second degré prennent une forme standard : ax² + bx + c. Elles tracent des courbes appelées paraboles. Le signe du coefficient a influence l'ouverture de la parabole : si a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut, sinon elle s'ouvre vers le bas. La forme de la parabole (plus ou moins étroite) dépend de la valeur de a. Les coefficients b et c influencent la position et l'orientation de cette courbe dans le plan.
Définition
Fonction du second degré
Une fonction du second degré est une fonction polynomiale de la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et a est différent de zéro.
Forme canonique
La forme canonique d'une fonction du second degré est a(x - α)² + β, où α et β sont des réels. Elle permet de déterminer facilement le sommet de la parabole.
Discriminant
Le discriminant d'une fonction du second degré de la forme ax² + bx + c est donné par Δ = b² - 4ac. Il permet de connaître le nombre de solutions de l'équation ax² + bx + c = 0.
Sommet d'une parabole
Le sommet d'une parabole décrite par la fonction ax² + bx + c est le point de coordonnées (α, β), où α = -b/(2a) et β = f(α).
📈 Comprendre les Fonctions du Second Degré
🔍 Résolution de l'Équation du Second Degré
Pour résoudre une équation du type ax² + bx + c = 0, on utilise le discriminant Δ = b² - 4ac. Voici les trois cas possibles :
- Si Δ > 0 : l'équation admet deux solutions distinctes x₁ et x₂ calculées par : x₁ = (-b + √Δ) / (2a) et x₂ = (-b - √Δ) / (2a).
- Si Δ = 0 : il y a une solution unique appelée racine double, x = -b / (2a).
- Si Δ < 0 : il n'y a pas de solution réelle.
📝 Forme Canonique et Sommet de la Parabole
La forme canonique d'une fonction du second degré permet de connaître le sommet de la parabole sans calcul compliqué. En écrivant f(x) = a(x - α)² + β, on peut déduire que le sommet de la parabole est le point (α, β). Pour passer de la forme standard à la forme canonique, on utilise les formules : α = -b/(2a) et β = f(α).
A retenir :
- Une fonction du second degré s'écrit ax² + bx + c.
- Le discriminant Δ = b² - 4ac détermine le nombre de solutions.
- La forme canonique est a(x - α)² + β.
- Le sommet de la parabole est (α, β), avec α = -b/(2a).
- Les solutions de ax² + bx + c dépendent du signe de Δ.
