Produit scalaire

Définition

Définition du produit scalaire

Le produit scalaire est une opération mathématique qui associe à deux vecteurs dans un espace vectoriel un nombre réel appelé produit scalaire. Il permet de mesurer l'angle entre deux vecteurs et de calculer des grandeurs telles que la norme d'un vecteur, la projection d'un vecteur sur un autre, etc.

Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est noté u . v ou u * v. Il se calcule à l'aide de la formule :

u . v = ||u|| * ||v|| * cos(θ)

où ||u|| et ||v|| sont les normes des vecteurs u et v, respectivement, et θ est l'angle entre les deux vecteurs.

Le produit scalaire peut être utilisé pour déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux (c'est-à-dire qu'ils forment un angle de 90 degrés) ou si l'un des vecteurs est un multiple de l'autre.

Le produit scalaire de deux vecteurs peut être calculé en multipliant les coordonnées correspondantes des vecteurs et en additionnant les résultats. Par exemple, si u = (u1, u2) et v = (v1, v2), alors :

u . v = u1 * v1 + u2 * v2

Il existe également une expression vectorielle du produit scalaire, qui utilise les composantes des vecteurs et le signe de la multiplication. Si u = (u1, u2) et v = (v1, v2), alors :

u . v = ||u|| * ||v|| * cos(θ) * n

où n est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan formé par u et v.

Propriétés du produit scalaire

Définition

Symétrie

Le produit scalaire est symétrique, c'est-à-dire que pour tout vecteur u et v, on a : u . v = v . u.

Linéarité

Le produit scalaire est linéaire par rapport à chaque coordonnée, c'est-à-dire que pour tout vecteur u, v et w, et pour tout scalaire a, on a : (a * u) . v = a * (u . v) et (u + v) . w = (u . w) + (v . w).

Orthogonalité

Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c'est-à-dire que u . v = 0.

A retenir :

Le produit scalaire est une opération mathématique essentielle en géométrie vectorielle. Il permet de mesurer l'angle entre deux vecteurs, de calculer des grandeurs telles que la norme d'un vecteur ou la projection d'un vecteur sur un autre. Il possède des propriétés importantes telles que la symétrie, la linéarité et l'orthogonalité. Le produit scalaire est utilisé dans de nombreux domaines, tels que la physique, l'informatique graphique, la mécanique, etc.