Définition
Nombre complexe
Un nombre complexe est une expression de la forme a + bi, où a et b sont des nombres réels, et i est l'unité imaginaire avec la propriété i² = -1.
Partie réelle
Pour un nombre complexe z = a + bi, la partie réelle est a.
Partie imaginaire
Pour un nombre complexe z = a + bi, la partie imaginaire est b.
Forme algébrique
La forme algébrique d'un nombre complexe est une écriture sous la forme a + bi.
Forme trigonométrique
La forme trigonométrique d'un nombre complexe est z = r(cos(θ) + isin(θ)), où r est le module et θ l'argument de z.
Forme exponentielle
La forme exponentielle d'un nombre complexe est z = re^(iθ), où r est le module et θ l'argument de z.
Module
Le module d'un nombre complexe z = a + bi est |z| = √(a² + b²).
Argument
L'argument d'un nombre complexe z = a + bi est un angle θ tel que cos(θ) = a/|z| et sin(θ) = b/|z|.
Addition et soustraction des nombres complexes
L'addition de deux nombres complexes z1 = a + bi et z2 = c + di se fait en ajoutant séparément les parties réelles et imaginaires : z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i. La soustraction suit un principe similaire : z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.
Multiplication et division des nombres complexes
La multiplication de deux nombres complexes z1 = a + bi et z2 = c + di est donnée par z1 * z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i. Pour la division, on utilise le conjugué : z1 / z2 = (z1 * conj(z2)) / (z2 * conj(z2)), où conj(z2) = c - di.
Conjugaison et propriétés conjuguées
Le conjugué d'un nombre complexe z = a + bi est noté conj(z) et est défini comme conj(z) = a - bi. Les propriétés incluent : z * conj(z) = |z|² et conj(z1 + z2) = conj(z1) + conj(z2).
Forme trigonométrique et applications
Dans la forme trigonométrique, un nombre complexe est représenté par z = r(cos(θ) + isin(θ)), ce qui est particulièrement utile pour les multiplications et pour l'élévation à des puissances. La formule de Moivre s'exprime comme (cos(θ) + isin(θ))^n = cos(nθ) + isin(nθ).
Résolution d'équations polynomiales
Les nombres complexes sont essentiels pour la résolution d'équations polynomiales. Selon le théorème fondamental de l'algèbre, chaque polynôme de degré n admet exactement n racines complexes (comptées avec multiplicité) dans le plan complexe.
Applications des nombres complexes
En ingénierie et en physique, les nombres complexes sont utilisés pour analyser des phénomènes périodiques. En électrotechnique, par exemple, ils simplifient les calculs liés aux circuits en régime sinusoïdal. En mathématiques pures, ils fournissent un cadre élégant à la résolution d'équations.
A retenir :
Les nombres complexes élargissent le champ numérique par l'introduction du nombre imaginaire i, permettant ainsi la résolution complète des équations polynomiales. Grâce à leurs différentes formes - algébrique, trigonométrique et exponentielle - ils s'adaptent à divers contextes et simplifient de nombreux calculs. Non seulement essentiels en mathématiques pures, ils trouvent des applications dans des domaines aussi variés que la physique, l'ingénierie et bien d'autres.
