1. La fonction carré

• Définition : La fonction carré est une fonction définie par f(x)=x2f(x) = x^2, où xx est un nombre réel.
• Courbe représentative : La courbe représentative de f(x)=x2f(x) = x^2 est une parabole qui :
• Est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (yy-axis).
• Passe par l'origine du repère (O(0,0)O(0, 0)).
• A une ouverture dirigée vers le haut.

2. Fonction paire

• Une fonction ff est dite paire si, pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f(-x) = f(x).
• La fonction carré f(x)=x2f(x) = x^2 est une fonction paire car : f(−x)=(−x)2=x2=f(x).f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x).
• Conséquence : La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

3. Résolution graphique d'équations et d'inéquations

Équation : x2=ax^2 = a

• Interprétation : Chercher les abscisses des points d’intersection entre la courbe f(x)=x2f(x) = x^2 et la droite y=ay = a.
• Si a>0a > 0, il y a 2 solutions : x=ax = \sqrt{a} et x=−ax = -\sqrt{a}.
• Si a=0a = 0, il y a 1 solution : x=0x = 0.
• Si a<0a < 0, il n’y a pas de solution (car x2≥0x^2 \geq 0).

Inéquation : x2≤ax^2 \leq a

• Interprétation : Chercher les abscisses des points où la courbe est en dessous ou sur la droite y=ay = a.
• Si a>0a > 0, solutions : x∈[−a,a]x \in [-\sqrt{a}, \sqrt{a}].
• Si a=0a = 0, solution : x=0x = 0.
• Si a<0a < 0, il n’y a pas de solution.

4. Évolution réciproque

• La fonction réciproque de f(x)=x2f(x) = x^2 est définie sur l’ensemble [0,+∞[[0, +\infty[.
• Elle s’exprime par g(x)=xg(x) = \sqrt{x}, où g(x)g(x) est la racine carrée.

5. Résolution algébrique d’équations

Exemple : Résoudre x2=4x^2 = 4.

1. Poser : x2=4x^2 = 4.
2. Appliquer la racine carrée : x=±4x = \pm \sqrt{4}.
3. Simplifier : x=2x = 2 ou x=−2x = -2.
4. Solution : x=−2x = -2 ou x=2x = 2.

6. Résolution algébrique d’inéquations

Exemple : Résoudre x2≤4x^2 \leq 4.

1. Chercher les bornes : x2=4x^2 = 4 donne x=±2x = \pm 2.
2. Tester les intervalles :

• x2≤4x^2 \leq 4 est vrai pour −2≤x≤2-2 \leq x \leq 2.

1. Solution : x∈[−2,2]x \in [-2, 2].

Résumé visuel :

• x2≥0x^2 \geq 0 pour tout xx.
• x2=ax^2 = a : x=±ax = \pm \sqrt{a} si a≥0a \geq 0.
• x2≤ax^2 \leq a : Intervalle autour de 00 si a≥0a \geq 0.
• La fonction carré est paire et a une courbe symétrique.