Définitions Préalables
Définition
Produit
Un produit est le résultat de la multiplication de plusieurs facteurs.
Facteur
Un facteur est un nombre ou une expression qui est multiplié par d'autres pour obtenir un produit.
Factorisation
La factorisation est le processus d'expression d'une expression mathématique comme un produit de ses facteurs.
Techniques de Factorisation
Factorisation par Mise en Evidence
La mise en évidence consiste à trouver le plus grand facteur commun aux termes d'une expression et à le sortir, autrement dit, à le mettre en facteur. Par exemple, pour factoriser l'expression 6x + 9, on identifie le plus grand facteur commun de 6 et 9, qui est 3. Alors, on écrit l'expression sous forme factorisée: 3(2x + 3).
Trinôme Quadratique
Un trinôme quadratique est une expression de la forme ax² + bx + c. La méthode de factorisation dépend de la reconnaissance de deux nombres qui, lorsqu'ils sont multipliés, donnent le produit ac et, lorsqu'ils sont additionnés, donnent b. Par exemple, pour factoriser x² + 5x + 6, nous cherchons deux nombres qui se multiplient pour donner 6 et s'additionnent pour donner 5. Ces nombres sont 2 et 3. Donc, x² + 5x + 6 est factorisé en (x + 2)(x + 3).
Factorisation par Regroupement
La factorisation par regroupement est utilisée pour factoriser des expressions ayant quatre termes. Cette méthode consiste à regrouper les termes en paires, puis à factoriser chaque paire individuellement. Par exemple, pour factoriser ax + ay + bx + by, on regroupe comme suit : a(x + y) + b(x + y), puis on met (x + y) en facteur pour obtenir (a + b)(x + y).
Identités Remarquables
Certaines expressions peuvent être rapidement factorisées en reconnaissant des identités remarquables. Les identités les plus courantes comprennent : le carré d'une somme, le carré d'une différence, et la différence de carrés. Par exemple, a² - b² est factorisé comme (a - b)(a + b).
Application de la Factorisation
La factorisation est souvent utilisée pour simplifier des équations et des fonctions, rendant plus faciles les solutions des équations quadratiques ou autres formes d'équations polynomiales. Elle est également cruciale pour résoudre des systèmes d'équations, des intégrales, et l'optimisation des fonctions.
A retenir :
La factorisation est un outil fondamental en mathématiques qui permet de simplifier les expressions pour calculs ultérieurs. Elle repose sur l'identification des facteurs communs, l'utilisation de techniques de regroupement et la reconnaissance d'identités remarquables. La compréhension et l'application de la factorisation facilitent la résolution d'équations complexes et ont des implications pratiques dans divers domaines des mathématiques avancées.
