Autrement dit ∀x, x ∉ Ø
Axiome du vide
On admet l'existence d'un ensemble appelé ensemble vide noté Ø qui ne contient aucun élément.
Un ensemble "fini"
C'est un ensemble qui contient un nombre fini d'éléments.
Exemple :
- L'ensembles des nombres pairs positifs
- L'ensembles des habitants de la France
Un ensemble "infini"
Ce sont des ensembles qui contiennent un nombre infini de valeurs
Exemple
- L'ensemble des entiers naturels N
- l'ensemble des entiers relatifs Z
Cardinal
Le cardinal d'un ensemble correspond au nombre d'élément qu'il contient.
Exemple :
- E = {1 ; 2 ; 3}
- |E| = 3
Remarque:
Il est tout a fait possible de prendre un sous-ensemble d'un ensemble déjà connu. Par exemple l'ensemble des entiers naturels pairs :
P = {n ∈ N | n est pair}
Sous-ensembles
Soient A et B deux ensembles. On dit que A est un sous ensemble de B si A est inclus dans B.
On note :
A ⊂ B
lorsque, pour tout x, on a
x ∈ A ⇒ x ∈ B
A NE PAS CONFONDRE
∈ et ⊂ ce n'est pas la même chose
Exemple :
- 1 ∈ {1 ; 2 ; 3} est vrai
- {1} ⊂ {1 ; 2 ; 3} est vrai
- 1 ⊂ {1 ; 2 ; 3} est faux
1 est un élément de l'ensemble et {1} est un ensemble
Pour tout ensemble A on a :
- A ⊂ A car pour tout x, x ∈ A ⇒ x ∈ A donc A ⊂ A
- Ø ⊂ A car pour tout x, x ∈ Ø ⇒ x ∈ A car x ∈ Ø est toujours faux et une implication faux/vrai est vraie
Axiome d'extensionnalité
Pour tout ensemble A et B, si A ⊂ B et B ⊂ A alors A = B.