Les dérivées
Les dérivées sont un concept fondamental en mathématiques, et surtout en calcul différentiel. Elles permettent d'étudier les variations et les pentes des fonctions. Dans ce cours, nous allons voir les bases des dérivées et comment les calculer.
Définition et notation
Définition
Dérivée d'une fonction
La dérivée d'une fonction f(x) est une nouvelle fonction notée f'(x) ou dy/dx. Elle représente la variation instantanée de la fonction par rapport à la variable x. En d'autres termes, la dérivée mesure la pente de la tangente à la courbe de la fonction à un point donné.
Notation Leibnizienne
Dans la notation de Leibniz, la dérivée d'une fonction f(x) est notée dy/dx ou dx/dy. Cela représente le taux de variation de y par rapport à x. Dans cette notation, on peut également représenter les dérivées d'ordre supérieur en ajoutant des indices, par exemple d²y/dx² représente la dérivée seconde.
Calcul des dérivées
Il existe plusieurs méthodes pour calculer les dérivées, notamment la règle de la dérivée des puissances, la règle de la somme ou de la différence, la règle du produit et la règle du quotient. Ces règles permettent de dériver des fonctions plus complexes en utilisant les dérivées des fonctions de base comme les fonctions constantes, linéaires ou les fonctions puissances.
Applications des dérivées
Les dérivées ont de nombreuses applications dans divers domaines, notamment en physique, en économie et en ingénierie. Elles permettent de modéliser et d'analyser les changements, les vitesses, les accélérations et les optimisations. Par exemple, en physique, la dérivée de la position par rapport au temps donne la vitesse, et la dérivée de la vitesse donne l'accélération.
