Les nombres complexes peuvent être représentés sous forme cartésienne et sur le plan complexe, également appelé plan d'Argand. Dans cette représentation, la partie réelle est placée sur l'axe horizontal et la partie imaginaire sur l'axe vertical. Chaque nombre complexe correspond alors à un point ou à un vecteur dans ce plan. Cela permet d'analyser les propriétés géométriques des nombres complexes, notamment lors des opérations arithmétiques.

Concernant les opérations, l'addition et la soustraction de deux nombres complexes z1 = a + ib et z2 = c + id se réalisent composante par composante : (a + c) + i(b + d) pour l'addition et (a - c) + i(b - d) pour la soustraction. La multiplication, quant à elle, suit la règle distributive, tenant compte que i² = -1 : z1 × z2 = (ac - bd) + i(ad + bc).

Le module d'un nombre complexe z = a + ib, noté |z|, est donné par |z| = √(a² + b²). Il représente la distance entre l'origine du plan complexe et le point associé à z. Cela se traduit par la longueur du vecteur représentant z dans le plan complexe. L'argument d'un nombre complexe, généralement noté arg(z), est l'angle θ (en radians ou degrés) que forme le vecteur avec l'axe des réels positifs. Cet angle est mesuré dans le sens anti-horaire. Le module et l'argument sont particulièrement importants pour la représentation polaire des nombres complexes : z = |z|(cos θ + i sin θ), également notée z = |z|e^(iθ).

Les nombres complexes trouvent des applications étendues non seulement en mathématiques pures, mais aussi en ingénierie, en physique et en divers domaines technologiques. Par exemple, ils sont utilisés pour résoudre des équations polynomiales qui n'ont pas de solutions réelles. De plus, la transformation de Fourier et les circuits électriques exploitent les propriétés des nombres complexes pour analyser les signaux et leurs fréquences. Par ailleurs, les opérations telles que la rotation et la dilatation sur le plan complexe sont souvent interprétées en termes de multiplication par des nombres complexes sous forme polaire, exploitant ainsi le module et l'argument.