Définition
Dérivée d'une fonction
La dérivée d'une fonction en un point mesure la rapidité de variation de la fonction en ce point. C'est la pente de la tangente à la courbe en ce point.
Fonction dérivable
Une fonction est dite dérivable en un point si elle admet une dérivée en ce point, c'est-à-dire si la pente de la tangente en ce point existe.
Calcul de la dérivée
Pour calculer la dérivée d'une fonction en un point x₀, on utilise la formule : f'(x₀) = lim(h→0) [(f(x₀+h) - f(x₀))/h]. Cette formule permet de trouver l'expression de la pente de la tangente en un point précis x₀.
Règles de dérivation
Somme et différence de fonctions
La dérivée de la somme de deux fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. Formellement, si u(x) et v(x) sont deux fonctions dérivables, alors (u+v)'(x) = u'(x) + v'(x).
Pour la différence de deux fonctions, nous avons (u-v)'(x) = u'(x) - v'(x).
Produit de fonctions
La dérivée du produit de deux fonctions se calcule grâce à la règle de dérivation du produit : (u×v)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Quotient de fonctions
Pour la dérivée du quotient de deux fonctions, la formule est : (u/v)'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/[v(x)]², à condition que v(x) ≠ 0.
Dérivée de fonctions composées
Pour dériver une fonction composée, on utilise la règle de la chaîne. Si y = f(g(x)), alors y' = f'(g(x)) × g'(x).
Applications des dérivées
Étude des variations
Les dérivées nous permettent d'étudier les variations d'une fonction. Une fonction est croissante sur un intervalle si sa dérivée est positive sur cet intervalle et décroissante si sa dérivée est négative.
Calcul des tangentes
La dérivée en un point nous donne la pente de la tangente à la courbe en ce point. L'équation de la tangente en x₀ est de la forme y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀).
A retenir :
En résumé, la dérivation est un outil mathématique fondamental permettant de mesurer la variation des fonctions. Il existe de nombreuses règles pour dériver des fonctions telles que les règles de dérivation de la somme, du produit ou de la composition de fonctions. Les dérivées sont appliquées dans l'étude des variations de fonctions et le calcul des équations des tangentes à des courbes. Comprendre l'utilisation et le calcul des dérivées est essentiel pour l'analyse mathématique avancée.
