Définition
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction définie par f(x) = ax + b, où a et b sont des constantes réelles et x est la variable.
Fonction linéaire
Une fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine où b = 0, ce qui donne f(x) = ax.
Les caractéristiques des fonctions affines
Les fonctions affines sont des fonctions du premier degré, ce qui signifie que la variable x est élevée à la puissance 1. La courbe représentative d'une fonction affine est une droite dans le plan cartésien. Le coefficient a est appelé le coefficient directeur de la droite et détermine l'inclinaison de la droite. La constante b est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire le point où la droite croise l'axe des ordonnées.
La représentation graphique
Pour représenter graphiquement une fonction affine, il suffit de tracer la droite en utilisant son coefficient directeur a et son ordonnée à l'origine b. Si a > 0, la droite monte vers la droite. Si a < 0, la droite descend vers la droite. Si a = 0, la fonction est constante et la droite est horizontale. La pente de la droite indique la variation de y par rapport à la variation de x.
Fonctions linéaires
Les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières où le coefficient b est égal à zéro, f(x) = ax. Cela signifie que la droite passe par l'origine (0,0). Ces fonctions montrent une relation proportionnelle directe entre x et y. Elles sont utilisées pour modéliser des situations où la variation de la quantité est constante. Par exemple, la relation entre le coût variable total et le niveau de production.
Résolution d'équations affines
Pour résoudre une équation affine de la forme ax + b = 0, il suffit de résoudre pour x. Isoler x en soustrayant b de chaque côté de l'équation, puis diviser chaque côté par a pour obtenir x = -b/a. Cette méthode permet de trouver le point où la fonction affine coupe l'axe des abscisses.
Comparaison avec d'autres types de fonctions
Contrairement aux fonctions quadratiques ou exponentielles, les fonctions affines sont toujours des lignes droites. Les quadratiques ont des courbes en forme de parabole, et les exponentielles montrent une croissance ou une décroissance exponentielle. Les fonctions affines sont donc plus simples à analyser graphiquement.
A retenir :
Les fonctions affines, définies par l'équation f(x) = ax + b, sont fondamentales en mathématiques grâce à leur simplicité. Elles sont facilement représentées graphiquement par des droites dont l'inclinaison est déterminée par le coefficient a, et l'ordonnée à l'origine est déterminée par b. Les fonctions linéaires sont un sous-ensemble des fonctions affines où b = 0, décrivant des relations proportionnelles entre les variables. Apprendre à résoudre ces fonctions et comprendre leur représentation graphique est essentiel pour de nombreuses applications mathématiques et pratiques.
