EXERCICE 6 — MÉTHODE COMPLÈTE

ÉTAPE 0 : JE REGARDE LA FONCTION

Je me demande :

Qu’est-ce que je vois ?

Je vois :

√(…)

RACINE

Je vois :

ln(…)

LOG

Je vois :

e^(…)

EXPONENTIELLE

Je vois :

1/(…)

FRACTION

Je vois :

x², x³, x⁴…

POLYNÔME

Je vois :

|x|

VALEUR ABSOLUE

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RÈGLE D’OR

Chaque symbole apporte sa propre condition.

√

Intérieur ≥ 0

ln

Intérieur > 0

Fraction

Dénominateur ≠ 0

e

Aucune condition

Polynôme

Aucune condition

Valeur absolue

Aucune condition

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6.1 DOMAINE

Question :

Quelles valeurs de x sont autorisées ?

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CAS RACINE

Exemple :

g(x)=√(x-2)

Une racine carrée accepte :

positif

0

négatif

Donc :

x-2 ≥ 0

Donc :

x ≥ 2

Exemple plus difficile

g(x)=√(-x²-3x+4)

Je fais :

-x²-3x+4 ≥ 0

Le corrigé trouve :

x=-4

et

x=1

Dessiner un axe.

Placer -4 et 1.

Comme le coefficient devant x² est négatif :

• à gauche de -4
• entre -4 et 1
• à droite de 1

Donc :

Dg=[-4;1]

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CAS LOG

Exemple :

g(x)=ln(x+2)

Le log accepte :

positif

0

négatif

Donc :

x+2 > 0

Donc :

x > -2

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CAS EXPONENTIELLE

Exemple :

g(x)=e^(x-3)

Réponse directe :

Dg=R

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CAS FRACTION

Exemple :

g(x)=1/(x-5)

Interdiction :

x-5=0

Donc :

x≠5

Donc :

Dg=R sauf 5

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CAS POLYNÔME

Exemple :

g(x)=x²-4x+3

Domaine :

Dg=R

Toujours.

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CAS VALEUR ABSOLUE

Exemple :

g(x)=|x-2|

Domaine :

Dg=R

Toujours.

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CAS COMBINÉ

Exemple :

g(x)=√(x-1)/(x+2)

Je vois :

√ et fraction

Donc :

x-1 ≥ 0

et

x+2 ≠ 0

Je garde les deux conditions.

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6.2 RACINES

Question :

Quand est-ce que g(x)=0 ?

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CAS RACINE

√A=0

Donc :

A=0

Exemple :

√(x-2)=0

Donc :

x=2

Exemple :

√(-x²-3x+4)=0

Donc :

-x²-3x+4=0

Le corrigé trouve :

-4

et

1

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CAS LOG

ln(A)=0

Règle magique :

A=1

Car :

ln(1)=0

Exemple :

ln(x+2)=0

Donc :

x+2=1

Donc :

x=-1

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CAS EXPONENTIELLE

e^A=0

Impossible.

Aucune racine.

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CAS FRACTION

1/A=0

Impossible.

Aucune racine.

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CAS POLYNÔME

Exemple :

x²-4x+3=0

Je résous l’équation.

Les solutions sont les racines.

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CAS VALEUR ABSOLUE

Exemple :

|x-2|=0

Donc :

x-2=0

Donc :

x=2

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6.3 SIGNE

Question :

La fonction est-elle :

positive ?

négative ?

nulle ?

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MÉTHODE UNIVERSELLE

Étape 1

Trouver les nombres importants.

Exemple :

-4 et 1

Étape 2

Dessiner un axe.

Placer les nombres du plus petit au plus grand.

Exemple :

-4 puis 1

Étape 3

Tester un nombre dans chaque zone.

À gauche de -4 :

x=-5

Entre -4 et 1 :

x=0

À droite de 1 :

x=2

Étape 4

Remplacer la valeur dans l’expression.

Si le résultat est positif :

mettre +

Si le résultat est négatif :

mettre -

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COMMENT TESTER ?

Exemple :

x²-4x+3

Zone de gauche :

x=0

0²-4×0+3

=3

positif

Zone du milieu :

x=2

2²-4×2+3

4-8+3

=-1

négatif

Zone de droite :

x=4

4²-4×4+3

16-16+3

=3

positif

Conclusion :

• / - / +

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CAS RACINE SIMPLE

Exemple :

g(x)=√(x-2)

Une racine carrée est toujours :

positive

nulle

négative

Dessiner un axe.

Placer 2.

Positive à droite de 2.

Nulle en 2.

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CAS RACINE PLUS DIFFICILE

Exemple :

g(x)=√(-x²-3x+4)

Racines :

-4 et 1

Dessiner un axe.

Placer -4 et 1.

Comme le coefficient devant x² est négatif :

extérieur négatif

intérieur positif

extérieur négatif

Donc :

Positive entre -4 et 1.

Nulle en -4 et en 1.

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CAS LOG

Exemple :

ln(x+2)

Je compare avec 1.

Je résous :

x+2=1

Donc :

x=-1

Dessiner un axe.

Placer -1.

Tester à gauche :

x=-1,5

-1,5+2=0,5

0,5<1

négatif

Tester à droite :

x=0

0+2=2

2>1

positif

Conclusion :

négatif à gauche de -1

positif à droite de -1

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CAS EXPONENTIELLE

Exemple :

e^(x-3)

Toujours :

e^x>0

Donc :

Toujours positive.

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CAS FRACTION

Exemple :

1/(x-5)

Je regarde :

x-5

Je résous :

x-5=0

Donc :

x=5

Dessiner un axe.

Placer 5.

Tester à gauche :

x=0

0-5=-5

négatif

Tester à droite :

x=10

10-5=5

positif

Conclusion :

négatif à gauche de 5

positif à droite de 5

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CAS POLYNÔME

Exemple :

x²-4x+3

Racines :

1 et 3

Dessiner un axe.

Placer 1 et 3.

Si coefficient de x² positif :

extérieur positif

entre les racines négatif

extérieur positif

+ / - / +

Si coefficient de x² négatif :

extérieur négatif

entre les racines positif

extérieur négatif

- / + / -

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CAS VALEUR ABSOLUE

Exemple :

|x-2|

Toujours :

positive

nulle

négative

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ANTI-PANIQUE EXERCICE 6

Si je vois une RACINE √

Domaine :

intérieur ≥ 0

Racines :

intérieur = 0

Signe :

toujours positif ou nul

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Si je vois un LOG ln

Domaine :

intérieur > 0

Racines :

intérieur = 1

Signe :

comparer à 1

A>1 → positif

0<A<1 → négatif

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Si je vois une EXPONENTIELLE e

Domaine :

tous les réels

Racines :

aucune

Signe :

toujours positif

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Si je vois une FRACTION

Domaine :

dénominateur ≠ 0

Racines :

aucune

Signe :

même signe que le dénominateur

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Si je vois un POLYNÔME

Domaine :

tous les réels

Racines :

résoudre =0

Signe :

Coefficient positif → + / - / +

Coefficient négatif → - / + / -

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Si je vois une VALEUR ABSOLUE

Domaine :

tous les réels

Racines :

intérieur =0

Signe :

positif

nul

négatif

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MÉTHODE EXAMEN

1. Je repère le type.
2. Je fais le domaine.
3. Je fais les racines.
4. Je dessine un axe.
5. Je place les nombres importants.
6. Je teste un nombre dans chaque zone.
7. Je conclus.

Si je bloque complètement :

√ → ≥ 0

ln → > 0

e → R

fraction → ≠ 0

C’est déjà la moitié des points du 6.1.