Chapitre nº7 : Suite arithmétiques et géométriques
Dans ce chapitre, nous allons étudier les notions de suites arithmétiques et géométriques. Les suites sont des listes de nombres ordonnés selon une certaine règle. Nous allons voir comment déterminer les termes de ces suites et comment calculer leur somme.
Définitions
Définition
Suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite numérique dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence constante est appelée la raison de la suite arithmétique.
Suite géométrique
Une suite géométrique est une suite numérique dans laquelle le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Ce rapport constant est appelé la raison de la suite géométrique.
Maintenant que nous avons défini les types de suites que nous allons étudier, nous allons examiner comment calculer les termes de ces suites.
Calcul des termes d'une suite arithmétique
Pour calculer les termes d'une suite arithmétique, nous avons besoin de deux informations : le premier terme de la suite (noté u₁) et la raison de la suite (notée r).
Le n-ième terme d'une suite arithmétique peut être calculé à l'aide de la formule suivante :
uₙ = u₁ + (n-1) * r
où uₙ est le n-ième terme, u₁ est le premier terme, n est l'indice du terme et r est la raison de la suite.
Par exemple, si le premier terme d'une suite arithmétique est 3 et la raison est 2, le quatrième terme peut être calculé comme suit :
u₄ = 3 + (4-1) * 2 = 9
Donc, le quatrième terme de cette suite arithmétique est 9.
Calcul des termes d'une suite géométrique
Pour calculer les termes d'une suite géométrique, nous avons également besoin de deux informations : le premier terme de la suite (noté u₁) et la raison de la suite (notée r).
Le n-ième terme d'une suite géométrique peut être calculé à l'aide de la formule suivante :
uₙ = u₁ * r^(n-1)
où uₙ est le n-ième terme, u₁ est le premier terme, n est l'indice du terme et r est la raison de la suite.
Par exemple, si le premier terme d'une suite géométrique est 2 et la raison est 3, le cinquième terme peut être calculé comme suit :
u₅ = 2 * 3^(5-1) = 162
Donc, le cinquième terme de cette suite géométrique est 162.
Calcul de la somme des termes d'une suite arithmétique
La somme des termes d'une suite arithmétique peut être calculée à l'aide de la formule suivante :
Sₙ = (n/2) * (u₁ + uₙ)
où Sₙ est la somme des n premiers termes, u₁ est le premier terme, uₙ est le n-ième terme et n est le nombre de termes.
Par exemple, si le premier terme d'une suite arithmétique est 1, la raison est 3 et nous voulons calculer la somme des 6 premiers termes, nous pouvons utiliser la formule suivante :
S₆ = (6/2) * (1 + u₆)
La valeur de u₆ peut être calculée à l'aide de la formule précédente. Une fois que nous avons trouvé u₆, nous pouvons calculer S₆.
Donc, la somme des 6 premiers termes de cette suite arithmétique est S₆.
Calcul de la somme des termes d'une suite géométrique
La somme des termes d'une suite géométrique peut être calculée à l'aide de la formule suivante :
Sₙ = (u₁ * (r^n - 1))/(r - 1)
où Sₙ est la somme des n premiers termes, u₁ est le premier terme, r est la raison de la suite géométrique et n est le nombre de termes.
Par exemple, si le premier terme d'une suite géométrique est 3, la raison est 2 et nous voulons calculer la somme des 5 premiers termes, nous pouvons utiliser la formule suivante :
S₅ = (3 * (2^5 - 1))/(2 - 1)
Donc, la somme des 5 premiers termes de cette suite géométrique est S₅.
A retenir :
En conclusion, les suites arithmétiques et géométriques sont des modèles de nombres ordonnés selon des règles spécifiques. Nous avons vu comment calculer les termes de ces suites, ainsi que comment calculer la somme des termes. Il est important de comprendre ces concepts pour résoudre des problèmes liés à ces types de suites.
