En statistique, une variable est une caractéristique que l'on mesure ou observe. Elle peut prendre différentes valeurs ou catégories. Comprendre comment classer ces variables et comment leurs probabilités se répartissent est essentiel pour analyser des données.
Variable
Une caractéristique mesurable ou observable qui peut prendre différentes valeurs ou catégories.
Population
L'ensemble de tous les individus ou observations possibles pour une étude.
Échantillon
Une partie de la population sur laquelle on réalise l'étude.
Loi de probabilité
La règle qui associe à chaque valeur ou catégorie d'une variable sa probabilité d'apparition.
Loi normale
Une loi de probabilité très courante pour les variables continues, caractérisée par une courbe en forme de cloche symétrique.
Classification des Variables Les variables sont classées en deux grandes familles : les variables qualitatives et les variables quantitatives. Chaque type a ses propres caractéristiques.
Classification des variables : qualitative et quantitative
Une variable qualitative décrit une qualité ou une catégorie. Elle ne se mesure pas avec des nombres. Par exemple, la couleur des yeux ou le groupe sanguin.
- Nominale : Les catégories n'ont pas d'ordre (ex: groupe sanguin A, B, AB, O).
- Ordinale : Les catégories peuvent être ordonnées (ex: niveau de douleur faible, moyen, fort).
- Binaire : Seulement deux catégories possibles (ex: présence/absence de myopie).
Une variable quantitative se mesure avec des nombres. Par exemple, la taille ou le nombre d'enfants.
- Discrète : Elle prend des valeurs entières et dénombrables (ex: nombre d'enfants, nombre d'opérations).
- Continue : Elle peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle (ex: taille en cm, poids en kg).
La Loi de Probabilité d'une Variable La loi de probabilité nous dit comment les chances d'apparition des différentes valeurs d'une variable sont réparties. Elle est différente selon que la variable est discrète ou continue.
Pour les variables qualitatives ou quantitatives discrètes, on utilise la fonction de masse. Elle donne la probabilité exacte que la variable prenne une valeur précise. La somme de toutes ces probabilités est toujours égale à 1.
Exemple de fonction de masse pour un dé et le sexe à la naissance
Pour les variables quantitatives continues, on utilise la fonction de densité. Pour ces variables, la probabilité qu'elle prenne une valeur exacte est nulle. On calcule plutôt la probabilité qu'elle se trouve dans un intervalle de valeurs. Cette probabilité est représentée par l'aire sous la courbe de la fonction de densité, et l'aire totale sous la courbe est égale à 1.
f(x) = exp(-x^2/2)
Exemple de fonction de densité de probabilité pour une variable continue.
La Loi Normale La loi normale est un type très courant de loi de probabilité pour les variables continues. Sa fonction de densité a une forme de cloche symétrique, comme celle que nous venons de voir. Elle est utilisée pour décrire de nombreux phénomènes naturels ou biologiques (ex: taille, poids).
Une caractéristique importante de la loi normale est que sa moyenne, sa médiane et son mode sont tous égaux et se situent au sommet de la cloche. C'est pourquoi elle est souvent appelée 'courbe en cloche'.
A retenir :
- Les variables se classent en qualitatives (décrivent des catégories) et quantitatives (se mesurent avec des nombres).
- Les variables qualitatives peuvent être nominales, ordinales ou binaires.
- Les variables quantitatives peuvent être discrètes (valeurs entières) ou continues (toutes valeurs dans un intervalle).
- La loi de probabilité décrit la répartition des chances d'apparition des valeurs d'une variable.
- Pour les variables discrètes, on utilise la fonction de masse (P(X=x)).
- Pour les variables continues, on utilise la fonction de densité (P(a ≤ X ≤ b) = aire sous la courbe).
- La loi normale est une loi continue en forme de cloche, où moyenne, médiane et mode sont identiques.