Définition
Équation
Une équation est une égalité mathématique qui relie une ou plusieurs variables. Resoudre une équation consiste à trouver les valeurs de ces variables qui rendent l'égalité vraie.
Inéquation
Une inéquation est une relation d'ordre entre des expressions mathématiques. Solving une inéquation implique de déterminer l'ensemble des valeurs des variables qui vérifient cette relation.
Les équations dans R
Équations de degré 1
Les équations de degré 1 ont la forme ax + b = 0, où a et b sont des constantes réelles et x est la variable. La solution d'une telle équation est donnée par x = -b/a, à condition que a soit non nul.
Équations de degré 2
Les équations de degré 2 sont sous la forme ax² + bx + c = 0. Pour les résoudre, on utilise le discriminant Δ = b² - 4ac. Selon la valeur du discriminant, il y a trois cas :
- Si Δ > 0, l'équation a deux solutions réelles distinctes.
- Si Δ = 0, l'équation a une solution réelle double.
- Si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle.
Les inéquations dans R
Inéquations de degré 1
Une inéquation de degré 1 a la forme ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0 ou ax + b ≤ 0. Pour résoudre ces inéquations, il suffit de manipuler l'inéquation de manière similaire à une équation, en veillant à inverser le signe de l'inégalité si l'on multiplie ou divise par un nombre négatif.
Inéquations de degré 2
Pour les inéquations de degré 2, de la forme ax² + bx + c > 0 (ou < 0, ≥ 0, ≤ 0), on commence par déterminer les racines de l'équation quadratique correspondante ax² + bx + c = 0. Les racines servent de points critiques, divisant la droite réelle en intervalles à tester. Le signe de l'expression quadratique est évalué dans chaque intervalle.
Applications des équations et inéquations
Les équations et inéquations sont présentes dans la modélisation de problèmes réels. Par exemple, elles servent à déterminer des seuils financiers, optimiser des trajectoires dans la physique ou résoudre des problèmes progressifs en ingénierie.
A retenir :
Les équations sont des expressions égales résolues par identification des inconnues. Les inéquations définissent des bornes à respecter par les variables via l'ordre. Des méthodes spécifiques existent pour chaque type selon leur degré. Ces outils sont essentiels en sciences naturelles et en économie pour modélisations et résolutions de problématiques complexes.
