- Repérer une expression répétée (par exemple x², x² + x, etc.)
- Poser w = cette expression
- Transformer l’équation en fonction de w
- Résoudre l’équation obtenue
- Revenir à x
Définition
Définition
Une équation réductible au second degré est une équation qui n’est pas directement du type ax² + bx + c = 0, mais que l’on peut transformer en une équation du second degré grâce à un changement de variable.
Idée
On remplace une expression compliquée par une lettre (souvent w) pour simplifier l’équation.
Méthode :
Niveau facile
Exemple 1
Équation d’origine :
x⁴ + 2x² - 8 = 0
On pose :
w = x²
On obtient :
w² + 2w - 8 = 0
On résout :
(w + 4)(w - 2) = 0
w = -4 ou w = 2
Retour à x :
x² = -4 —> pas de solution
x² = 2 —> x = ±√2
Solutions finales :
x = -√2, √2
Niveau moyen
Exemple 1
Équation d’origine :
(x² + x)² = x² + x + 6
On pose :
w = x² + x
On obtient :
w² = w + 6
On résout :
w² - w - 6 = 0
(w - 3)(w + 2) = 0
w = 3 ou w = -2
Retour à x :
x² + x = 3 —> x² + x - 3 = 0 —> x = 1 ou x = -3
x² + x = -2 —> x² + x + 2 = 0 —> pas de solution
Solutions finales :
x = 1, -3
Niveau difficile
Exemple 1
Équation d’origine :
(x² - 5x + 6)² = x² - 5x + 12
On pose :
w = x² - 5x + 6
On obtient :
w² = w + 6
On résout :
w² - w - 6 = 0
(w - 3)(w + 2) = 0
w = 3 ou w = -2
Retour à x :
x² - 5x + 6 = 3 —> x² - 5x + 3 = 0 —> x = 1 ou x = 3
x² - 5x + 6 = -2 —> x² - 5x + 8 = 0 —> pas de solution
Solutions finales :
x = 1, 3
Exemple 2
Équation d’origine :
√(x² + x + 1) = x + 1
On pose :
w = x + 1
On obtient :
√(w² - w + 1) = w
On résout :
w² - w + 1 = w² —> w² - w + 1 - w² = 0 —> -w + 1 = 0 —> w = 1
Retour à x :
x + 1 = 1 —> x = 0
Solutions finales :
x = 0
A retenir :
- Une équation réductible au second degré implique un changement de variable pour simplifier sa résolution.
- La méthode typique consiste à identifier et substituer une expression répétée par une variable intermédiaire.
- Plusieurs niveaux de difficulté peuvent être abordés, du simple changement de variable à la manipulation de racines et de puissances.
- Chaque étape de la méthode est cruciale pour revenir à la variable d'origine et vérifier les solutions possibles.
- Les solutions finales sont toujours réinterprétées dans le contexte de la variable d'origine.