Equations, Développements, Factorisations
Ce cours va aborder les concepts fondamentaux des équations, des développements et des factorisations en mathématiques. Nous allons explorer les différentes méthodes pour résoudre des équations, simplifier des expressions grâce aux développements et factoriser des polynômes.
Les équations
Une équation est une égalité mathématique comprenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation revient à trouver la ou les valeurs des inconnues qui vérifient cette équation. Il existe différents types d'équations, telles que les équations linéaires, quadratiques, rationnelles, etc.
Définition
Équation linéaire
Une équation linéaire est une équation de la forme ax + b = 0 où x est l'inconnue et a et b sont des constantes.
Pour résoudre une équation linéaire, on peut isoler x en effectuant des opérations algébriques.
Par exemple, pour résoudre l'équation 2x + 3 = 7, on peut soustraire 3 des deux côtés de l'équation pour obtenir 2x = 4, puis diviser par 2 pour obtenir x = 2. La solution de cette équation est x = 2.
Définition
Équation quadratique
Une équation quadratique est une équation de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des constantes et x est l'inconnue.
Pour résoudre une équation quadratique, on peut utiliser la formule quadratique ou compléter le carré.
Par exemple, pour résoudre l'équation x² - 5x + 6 = 0, on peut utiliser la formule quadratique : x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). En substituant les valeurs a = 1, b = -5 et c = 6 dans cette formule, on obtient x = 3 et x = 2. Donc les solutions de cette équation sont x = 3 et x = 2.
Les développements
Le développement est une méthode qui permet de simplifier une expression mathématique en effectuant les calculs.
Définition
Développement d'un binôme
Le développement d'un binôme consiste à élever un binôme à une puissance donnée en utilisant la formule du binôme de Newton.
Par exemple, le développement de (a + b)² donne a² + 2ab + b². Le développement de (a + b)³ donne a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Et ainsi de suite.
Les factorisations
La factorisation est une méthode qui permet d'écrire une expression mathématique comme un produit de facteurs. Cela peut rendre l'expression plus simple à manipuler ou à résoudre.
Définition
Factorisation d'un polynôme
La factorisation d'un polynôme consiste à écrire ce polynôme comme un produit de polynômes plus simples.
Par exemple, le polynôme x² - 4 est factorisable en (x - 2)(x + 2). La factorisation permet de simplifier l'expression et peut aussi aider à trouver les solutions d'une équation en utilisant les zéros des facteurs.
A retenir :
En conclusion, la résolution des équations, les développements et les factorisations sont des concepts clés en mathématiques. Ils permettent de simplifier les expressions, de trouver les solutions d'équations et d'explorer les propriétés des polynômes. Maîtriser ces concepts est essentiel pour progresser en algèbre et en calcul.
