Les ensembles de nombres

Les ensembles sont emboîtés comme des poupées russes : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Un même nombre appartient donc à plusieurs ensembles à la fois : 7 est dans ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ. Chaque inclusion est stricte, donc les réciproques sont fausses : −3 est un entier relatif sans être un entier naturel, 1/3 est rationnel sans être décimal. Pour justifier qu'une inclusion est stricte, il suffit d'exhiber un contre-exemple appartenant au grand ensemble et pas au petit.

Le symbole ∈ se lit « appartient à » (−5 ∈ ℤ), et ∉ « n'appartient pas à » (√2 ∉ ℚ). Pour trancher la nature d'un nombre, on cherche son écriture la plus simple : si le dénominateur peut se ramener à une puissance de 10, le nombre est décimal (3/4 = 75/100 = 0,75) ; sinon il reste seulement rationnel (1/3 = 0,333…, période de longueur 1). Une écriture décimale infinie non périodique signale un irrationnel : il est dans ℝ mais hors de ℚ. On donne toujours l'ensemble le plus petit qui contient le nombre.